Александр Борисович Кусиков родился 17 (29) сентября 1896 года в Армавире в многодетной армянской семье Кусикянов.
Окончил гимназию в станице Баталпашинской Кубанской области. Примечательно, что практически в то же время (в 1914-1916 гг.) в той же станице жил и работал учителем рисования Алексей Крученых. После окончания гимназии поступил на юридический факультет Московского университета, но проучился всего полгода и в 1915 году был призван по дополнительному набору в армию. По тому же набору в то же время был призван и его ровесник, будущий маршал Георгий Жуков, причем оба молодых человека были отобраны в легкую кавалерию.
Участник Первой мировой войны, нёс службу в Северском драгунском полку. Был ранен.
После Февральской революции был назначен военным комиссаром Анапы. После Октябрьской революции уехал в Москву. В 1919 году назначен командиром отдельного кавалерийского дивизиона. В начале 1921 года оставил военную службу.
Приехав в Москву, он начинает посещать «Кафе поэтов», одновременно знакомится с Валерием Брюсовым, Владимиром Маяковским, Василием Каменским, Константином Бальмонтом. Создает издательство «Чихи-Пихи», где в 1919 году совместно с Бальмонтом, под влиянием которого в то время находился, издает сборник «Жемчужный коврик» и там же собственный сборник стихов «Сумерки».
Весной 1919 года входит в «Орден имажинистов» и становится его наиболее активным участником. Совместно с Сергеем Есениным и Вадимом Шершеневичем открывает книжный магазин «Лавка поэтов». Избирается заместителем председателя Всероссийского союза поэтов.
В ночь на 19 октября 1920 г. был арестован ЧК на своей квартире в вместе с братом Рубеном и Сергеем Есениным, но через три недели отпущен.
Автор стихов к некоторым романсам, написанным братьями Николаем и Михаилом Бакалейниковами.
В январе 1922 года при помощи Анатолия Луначарского отправляется в зарубежную командировку (вместе с Кусиковым едет Борис Пильняк). По дороге в Берлин около месяца они проводят в Эстонии, организуя творческие вечера в Ревеле (Таллине) и Дерпте (Тарту).
За границей Кусиков выказывает свою верность революции, что порождает негодование в эмигрантской печати. В эмигрантских кругах Кусикову дают кличку «чекист». В итоге он в 1924 году переселяется в Париж, где создаёт «Общество друзей России».
С 1924 по 1930 годах Александр Кусиков широко издавался за рубежом (в том числе в финансируемой советским посольством газете «Парижский вестник»), в то время как на родине его имя в печати мелькает всё реже. К началу 1930-х годов Кусиков окончательно прекратил заниматься творчеством.
Умер в Париже 20 июля 1977 года.
